Efectivo ou dimensão da população: nº de elementos da população

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RESUMO MACS

3- Estatística

Questões de Exame>>

ASSUNTO: Introdução à estatística

Livro: TEXTO 10

A estatística é uma ciência que estuda uma ou varias características ou propriedades de uma população tendo por base a recolha, classificação, apresentação e interpretação dos dados sobre o fenómeno em estudo.

População: conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum que se pretende analisar.

Unidade estatística: cada um dos elementos da população

fri(%)

Fri(%)

Amostra: subconjunto finito da população

Censo: estudo estatístico que incide sobre todos os elementos da população.

Sondagem: estudo estatístico que incide apenas em uma amostra da população

A variável estatística é aquilo que se está a estudar, e esta pode ser:

- Variável estatística qualitativa: não podem ser expressas numericamente, pois relacionam situações como a cor da pele, cor dos olhos, marca de refrigerante, marca de automóvel, preferência musical entre outras.

- Variável estatística quantitativa: são expressas numericamente, quer traves de uma contagem, quer através de uma medição; podem dividir-se em variável estatística quantitativa discreta que só toma valores isolados, como por exemplo o número de irmãos; e em variável estatística quantitativa continua que toma qualquer valor de um dado intervalo, como por exemplo a altura, a temperatura, o peso.

- Estatística Descritiva, que visa descrever o real de forma a permitir entendê-lo melhor; trata da recolha, classificação e redução dos dados com vista a descrever e interpretar a realidade actual ou factos passados relativos ao conjunto observado. O seu objectivo é informar, prevenir, esclarecer.

- Estatística Indutiva ou inferência estatística que, a partir de uma amostra da população, permite estender os resultados à população inteira; trata de estabelecer conclusões relativas a um conjunto mais vasto de indivíduos (população) a partir da observação de parte dela (amostra).

O processo para seleccionar uma amostra:

- deve ser aleatório

- deve ter elementos suficientes

- Amostra representativa da população: estamos perante uma amostra bem recolhida, ou seja, significa que representa bem a população

- Amostra enviesada: estamos perante uma amostra mal recolhida, ou seja, não representa bem a população.

EXEMPLO

1) Para cada uma das variáveis que se seguem, indique as que são qualitativas e as que são quantitativas. Entre as quantitativas, distinga as contínuas das discretas.

1.1) “A cor dos olhos”; 1.2) “ Altura exacta de uma pessoa”

1.3) - “Número de telemóveis que possui”; 1.4) Número de filhos de um casal.

Resolução:

ASSUNTO: Tabelas de frequências

Livro: TEXTO 10

A frequência Absoluta é o número total de elementos de uma dada classe ou valor.

Na frequência absoluta acumulada pegamos nos anteriores e vamos somando (acumulando). Usa-se sobretudo para responder a questões do tipo:

"quantos elementos têm valor inferior ou igual a..."

A frequência relativa resulta de dividir o número de elementos da classe pelo número total de elementos. Se for pedido o resultado em percentagem, devemos multiplicar por 100.

A frequência relativa acumulada consiste em acumular as frequências relativas

EXEMPLO

3) Complete a tabela de frequências que se segue:

Resolução:

EXEMPLO Diagrama de Caule e folhas

2) As idades dos funcionários de uma empresa são:

60; 62; 54; 49; 38;32; 35; 34; 51; 30; 49; 46; 47; 45; 31; 55; 29; 31; 39; 41; 27; 24; 45 37; 33; 31; 28; 20; 38; 26; 55; 50; 48

2.1) Represente os dados num diagrama de caule e folhas.

Resolução:

EXEMPLO : Gráfico Circular.

3)Os 600 alunos de uma Escola com Terceiro Ciclo e Secundário distribuem-se pelos vários níveis de escolaridade de acordo com as indicações que se seguem:

O número de alunos do 12º ano é igual ao número de alunos do 11º ano, e estes dois níveis juntos representam 50% da totalidade dos alunos da escola.

O número de alunos do 7º ano é metade do número de alunos do 10º ano.

Os alunos do 9º ano representam 10% do total de alunos da Escola.

No 8º ano existem mais 30 alunos do que no 9º ano.

3.1) Se desenharmos um diagrama circular, qual o ângulo dos sectores de cada um dos níveis de escolaridade?

3.2) Determine quantos alunos tem cada um dos anos de escolaridade.

Resolução:

NOTAS : Gráfico Circular:

Deve ter atenção que este tipo de gráficos, construídos, de um modo geral, para dados qualitativos:

- tem de ter legenda e a percentagem de cada sector;

- tem a área de cada sector igual à frequência;

Para calcular a amplitude dos ângulos: fri × 360⁰

ASSUNTO: HISTOGRAMAS

Livro: TEXTO 10

QUESTÕES DE EXAME :

- Histogramas:

Estes gráficos utilizam-se sempre que os dados estão agrupados em classes, na forma de intervalos, devendo ter-se em conta que:

- no eixo horizontal representa-se os intervalos das classes;

- no eixo vertical representa-se as frequências;

- no histograma as barras são juntas.

Nota: O histograma é usado para variáveis estatísticas contínuas

Nota: quando os intervalos das classes não têm amplitudes iguais, a área de cada retângulo tem de ser igual à respetiva frequência.

Nesse caso, temos de calcular a altura das barras

( = frequência/amplitude)

Para agrupar os dados em classes, o número de classes a considerar(K) é, usualmente: k de modo que

2^k≥n

onde n representa o número total de elementos.

EXEMPLO

2) As idades dos funcionários de uma empresa são:

60; 62; 54; 49; 38;32; 35; 34; 51; 30; 49; 46; 47; 45; 31; 55; 29; 31; 39; 41; 27; 24; 45 37; 33; 31; 28; 20; 38; 26; 55; 50; 48

2.2) Se pretendessemos agrupar em classes, quantas classes devíamos considerar?

Utilize a fórmula dada na aula e justifique convenientemente.

Resolução:

EXEMPLO

4) As idades dos funcionários de uma empresa são:

60; 62; 54; 49; 38;32; 35; 34; 51; 30; 49; 46; 47; 45; 31; 55; 29; 31; 39; 41; 27; 24; 45; 37; 33; 31; 28; 20; 38; 26; 55; 50; 48; 66; 32; 55

4.2) Se pretendessemos agrupar em classes, quantas classes devíamos considerar? Utilize a fórmula dada na aula e justifique convenientemente.

Resolução:

4.2) 2⁵= 32 2⁶=64 são 6 classes, pois temos 36 elementos.

EXEMPLO

O Histograma que se segue refere-se ao número de pessoas que visitaram uma loja comercial, em função das idades.

Tal como podemos observar, as alturas das barras são, 9, 18, 14 e 9 respectivamente.

De acordo com a informação do histograma, complete a tabela seguinte:

Classes	fi	Fi	fri(%)	Fri(%)
[0, 11[
[11, 16[
[16, 23[
[23, 35[

Resolução:

99	99	25.06%	25.06%
90	189	22.78%	47.84%
98	287	24.81%	72.65%
108	395	27.34%	99.99%

EXEMPLO

8) O histograma seguinte representa o rendimento familiar, em milhares de dólares de famílias americanas em 1973.

Cerca de 1% das famílias têm rendimentos entre 0 e 1000 USD.

Estime a percentagem de famílias com rendimentos entre

8.1)7 000 USD e 18 000 USD 8.2) 9 000 USD e 35 000USD.

Resolução:

EXEMPLO

8) O Histograma que se segue refere-se ao número de pessoas que visitaram uma loja comercial, em função das idades.

Tal como podemos observar, as alturas das barras são, 9, 18, 14 e 9 respectivamente.

Quantas pessoas tinham idade

8.1) maior que 11 anos? 8.2) entre 16 e 35 anos?

Resolução:

ASSUNTO: Média, Moda, Mediana, Quartis.

Livro: TEXTO 10

- Média: () é o quociente da soma de todos os lados pelo numero dos lados, ou seja:

Quando os dados são discretos e estão agrupados, podemos calcular a média do seguinte modo:

Se a variável for contínua, os dados estão organizados em classes e usamos a marca( ou ponto médio) de cada classe, como representante da mesma.

A média será dada por:

Moda: (M_o) é o valor da variável ao qual corresponde uma maior frequência (absoluta ou relativa)

Mediana.

- Mediana: ) é o valor que divide o conjunto de dados (ordenados por ordem crescente ou decrescente) em duas partes com o mesmo numero de observações.

Se o número de dados é impar, a mediana é o valor central.

Se o número de dados é par, a mediana é a media aritmética dos valores centrais.

Se o numero de dados for muito grande:

- se o número de dados n é impar, a ordem k da mediana é dada por

- se o número de dados n é par, a mediana é a media dos valores de ordens

Caso os dados estejam agrupados em classes, indicaremos a classe mediana

Quando os dados estão agrupados em classes, os percentis podem ser calculados de forma idêntica à dos quartis, ou seja, não se determina o valor exato dos percentis mas, apenas, a classe a que pertencem.

EXEMPLO

1) Considere as idades de alguns alunos

15, 15, 16, 16, 16, 17, 18, 19

1.1) Calcule a média, indicando todos os cálculos. (1c.d.)

( Se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

Resolução:

EXEMPLO

2) Considere as velocidades de 30 automóveis registadas por um radar dentro de uma localidade:

2.1) Calcule a média das velocidades, indicando todos os cálculos.

2.2) Calcule a variância(*) e o desvio-padrão(*), indicando todos os cálculos.

(*)Aqui é apresentada a variância populacional, por isso dividimos por n, se for a variância amostral, dividimos por "n-1". O mesmo para o desvio padrão,

( se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

2.3) Qual a classe que contém a mediana? Qual a classe que contém o 1º quartil? Qual a classe que contém o 3º quartil?

2.4) Calcule o valor aproximado do 3º quartil. Apresente todos os cálculos e justificações. ( se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

Resolução:

EXEMPLO

9)Considere as velocidades de 30 automóveis registadas por um radar dentro de uma localidade:

9.1)Calcule a média das velocidades.

9.2)Qual a classe que contém a mediana? Qual a classe que contém o 1º quartil?

9.3) Calcule o valor aproximado do 1º quartil. Apresente todos os cálculos e justificações.

Resolução:

EXEMPLO

5) O seguinte histograma indica-nos a distância percorrida por 250 pessoas durante as últimas férias de Verão:

5.1) Qual a classe que contém o primeiro quartil? Justifique a sua resposta

5.2) Calcule o valor aproximado do primeiro quartil. Apresente todos os cálculos e justificações.

Resolução:

5.1) Como são 250 pessoas, a primeira metade tem 125, logo o Q1 será o 63º elemento ordenado.

Como a classe 1 tem tem 10 elementos e a classe 2 tem 50, que acumula 60, o Q1 está na classe 3, que acumula 100.

Q1 pertence à classe [400, 500[.

5.2) A classe [400, 500[ contém o 61º, 62º, 63º,...num total de 40 elementos, dos quais, Q1 é o 3º. A amplitude da classe é 100, logo: 100--> 40 e x-->3 de onde obtemos x =7.5

O valor aproximado de Q1 é 407.5

EXEMPLO Diagrama de Extremos e quartis.

2) As idades dos funcionários de uma empresa são:

60; 62; 54; 49; 38;32; 35; 34; 51; 30; 49; 46; 47; 45; 31; 55; 29; 31; 39; 41; 27; 24; 45 37; 33; 31; 28; 20; 38; 26; 55; 50; 48

2.1) Represente os dados num diagrama de caule e folhas.

2.2) Se pretendessemos agrupar em classes, quantas classes devíamos considerar? Utilize a fórmula dada na aula e justifique convenientemente.

2.3) Diga qual a percentagem de trabalhadores com mais de 40 e menos de 60 anos.

2.4)

2.4) Determine a mediana, o primeiro quartil, o terceiro quartil, o máximo e o mínimo.

2.5) Desenhe o diagrama de extremos e quartis.

Resolução:

ASSUNTO: Simetria e enviesamento.

Livro: TEXTO 10

- Dados simétricos: os dados estão distribuídos de forma simétrica

- Enviesamento para a esquerda: os dados estão mais concentrados à direita de Q2

- Enviesamento para a direita: os dados estão mais concentrados à esquerda de Q2

Exemplo: Quando olhamos para um gráfico abaixo, devemos observar que:

Os valores são mais ou menos simétricos mas, embora a média se encontre perto do centro, o desvio-padrão é um valor alto, pois a maior parte dos valores estão longe da média.

Na situação que se segue, os valores estão mais concentrados à esquerda. O gráfico não é simétrico. O diagrama de extremos e quartis está mais “encolhido” do lado esquerdo, o que significa que é desse lado que a dispersão é menor.

Do lado direito a dispersão é maior.

EXEMPLO

4) Numa empresa com três filiais, em três cidades distintas, registaram-se os tempos que os trabalhadores gastam de casa ao local de trabalho e obtiveram-se os seguintes histogramas:

Sabendo que os diagramas de extremos e quartis seguintes também representam as mesmas

distribuições, faça corresponder a cada um deles uma cidade.

Diagrama1 Diagrama 2 Diagrama 3

Resolução:

ASSUNTO: Vantagens, desvantagens e limitações das medidas de tendência central.

Livro: TEXTO 10

A mediana é resistente. A Média é sensível.

EXEMPLO

6) Explique o que são medidas de localização resistentes. Dê exemplos onde lhe pareça relevante ter em conta a resistência da medida de localização.

Resolução:

ASSUNTO: Medidas de dispersão

Livro: TEXTO 10

- Amplitude: é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da variável:

a = x_máx_. - x_mín_.

-Amplitude Interquartil: é a diferença entre o 3º quartil e o 1º quartil:

A_q = Q₃ - Q₁

(*)Nota importante: Nos exemplos aqui apresentados, fizemos a variância populacional, por isso dividimos por n. Na variância amostral, em vez de dividirmos por n, dividimos por (n-1). O mesmo para o desvio padrão.

EXEMPLO Média e Variância(*)

1Considere as idades de alguns alunos

15, 15, 16, 16, 16, 17, 18, 19

1.1Calcule a média, indicando todos os cálculos. (1c.d.)

( Se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

1.1) Calcule a variância e o desvio padrão, indicando todos os cálculos. (2cd)(*)

(*)Aqui é apresentada a variância populacional, por isso dividimos por n, se for a variância amostral, dividimos por "n-1". O mesmo para o desvio padrão,

( se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

Resolução:

EXEMPLO

2) Considere as velocidades de 30 automóveis registadas por um radar dentro de uma localidade:

2.1) Calcule a média das velocidades, indicando todos os cálculos.

( se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

2.2) Calcule a variância(*) e o desvio-padrão, indicando todos os cálculos.

(*)Aqui é apresentada a variância populacional, por isso dividimos por n, se for a variância amostral, dividimos por "n-1". O mesmo para o desvio padrão,

( se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

2.3) Qual a classe que contém a mediana? Qual a classe que contém o 1º quartil? Qual a classe que contém o 3º quartil?

2.4) Calcule o valor aproximado do 3º quartil. Apresente todos os cálculos e justificações.

( se apenas indicar o resultado, será considerado errado)

Resolução:

ASSUNTO: Correlação e Regressão linear.

Livro: TEXTO 10

Gráfico de correlação ou Diagrama de dispersão: é um gráfico de pontos em que as coordenadas de cada ponto são os valores das duas variáveis em estudo.

O conjunto dos pontos num gráfico de correlação designa-se por nuvem de pontos.

A correlação diz-se linear se a nuvem de pontos se distribuir ao longo de uma linha recta, a recta de regressão.

Esta representação permite analisar de que forma se relacionam as duas variáveis:

A correlação é linear positiva, se à medida que uma variável aumenta os valores correspondentes à outra variável também aumentam.

A correlação é linear negativa, se à medida que uma variável aumenta os valores correspondentes à outra variável diminuem.

Coeficiente de Correlação:

Se r= 1 a correlação diz-se perfeita

Se r=0 a correlação diz-se nula

Se r<0 a correlação diz-se negativa

Se r>0 a correlação diz-se positiva

EXEMPLO

1) Consideremos os pesos e as alturas de 6 alunos:

X Altura(cm)	140	150	156	160	167	174
Y Peso(kg)	63	60	67	66	72	71

1.1) Calcule o centro de gravidade.

1.2) Determine o valor do coeficiente de correlação.

1.3) Obtenha a equação da recta de regressão.

1.4) Com base na equação da recta de regressão obtida, determine:

1.4.1) O peso esperado para um aluno com 161 cm.

1.4.2) A altura esperada para um aluno com 68 kg.

Resolução:

1.1) (157.83; 66.5)

1.2) r = 0.84

1.3) y= 0.32x+15.99

1.4.1) y= 0.32x161+15.99= 67.51

1.4.2) 68= 0.32x+15.99

EXEMPLO

6)A tabela seguinte mostra as notas obtidas por oito estudantes em dois testes, um de Matemática e outro de Física.

Estudante	A	B	C	D	E	F	G	H
Matemática	16	14	12	10	6	7	5	4
Física	12	15	10	10	6	6	4	2

6.1) Obtenha o coeficiente de correlação (3c.d).

6.2) Apresente a equação da recta de regressão (3c.d)

6.3) Com base na equação da recta de regressão obtida, determine:

6.3.1) a nota esperada em Física, para um alunos que obteve 13 valores em Matemática. Indique todos os cálculos e apresente o resultado arredondado às centésimas.

6.3.2) a nota esperada em Matemática, para um alunos que obteve 17 valores em Física. Indique todos os cálculos e apresente o resultado arredondado às centésimas.

Resolução:

ASSUNTO: Tabelas de Contingência

Livro: TEXTO 10

Percentagens. Comparações

EXEMPLO

5) Considere a tabela:

CABELO/OLHOS	Castanhos	Azuis	Verdes	Total
Castanho				300
Louro				150
Ruivo	10			50
TOTAL		80		500
		80		500

Complete a tabela tendo em conta que:

25% das pessoas com cabelo castanho tem olhos verdes.

1/5 das pessoas com cabelo louro tem olhos castanhos.

62,5% das pessoas com olhos azuis tem cabelo louro.

Há mais 70 pessoas com olhos castanhos do que pessoas com olhos verdes.

Resolução:

EXEMPLO

2) A tabela refere-se a 200 alunos que frequentam o 10º ano.

	Rapaz	Rapariga	TOTAL
Frequenta Matemática A
Não frequenta Matemática A
TOTAL

Complete a tabela acima tendo em conta que:

60 % dos alunos frequentam Matemática A.

3/8 dos alunos são rapazes.

40% das raparigas não frequenta Matemática A

Resolução:

45	75	120
30	50	80
75	125	200